funciones polinomicas

Funciones polinómica

Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio

f(x) = a₀ + a₁ x + a₁ x² + a₁ x³ +··· + a_n x

Su dominio es  , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constante

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia mas alta que aparece de x.

Definición Si una función f está definida por 

f(x) = anXn + an1 − 1Xn − 1 + an − 2Xn − 2 + ... + a1 + a0 donde a0,a1,...,an son números reales 

y n es un entero no negativo. 

Entonces, f se llama una Función Polinomial de grado n. 

Ejemplo #1

f(x) = 3x⁵ − x² + 7x − 1 es una función polinomial de grado 5.

Función Lineal

Una función lineal es una función polinomial de grado 1.

f(x) = ax + b

Función Cuadratica

Si el grado de una función polinomial es 2, se llama Función Cuadrática.

f(x) = ax² + bx + c

Función Racional

Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales

Q(x) = f(x) / g(x)

se llama función racional.

Función Algebraica

Una función algebraica es aquella que está formada por un número finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y la función constante.

Funciones Trascendentes

Las funciones trascendentes son las trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Teorema del valor intermedio

Si 

f

a<b

f

f(a)

f(b)

[a,b]

Ejemplo #2

Demuestre que f(x) = x⁵ + 2x⁴ − 6x³ + 2x − 3 tiene un cero entre 1 y 2.

Al sustituir 

x

f(1) = 1 + 2 − 6 + 2 − 3 = − 4

f(2) = 32 + 32 − 48 + 4 − 3 = 17<center>

Dado que 

f(1)

f(2)

f(c)=0

c

Ejemplo #3

Sea 

f(x)=

x

3

+

x

2

−4x−4

x

f(x)

x

f(x)

f

Factorizemos primero 

f(x)

f(x)

=

x

3

+

x

2

−4x−4

=(

x

3

+

x

2

)+(−4x−4)

=

x

2

(x+1)−4(x+1)

=(

x

2

−4)(x+1)

=(x−2)(x+2)(x+1)

dado

agrupartérminos

factorizar

x

2

y−4

factorizar(x+1)

diferenciadecuadrados

De aqui podemos ver que los cero de 

f(x)

x

x

(−∞,−2),(−2,−1),(−1,2),(2,∞)

Ahoda analizamos el signo de la función en cada uno de estos intervalor, mediante la siguiente tabla.

<center>

Intervalo	(∞,−2)	(−2,−1)	(−1,2)	(2,∞)
Signo de x+2	−	+	+	+
Signo de x+1	−	−	+	+
Signo de x−2	−	−	−	+
Signo de f(x)	−	+	−	+
Posición en la Grafica	Abajo del eje x	Arriba del eje x	Abajo del eje x	Arriba del eje x

Grafica

Ejemplo

1. Para la función 

(a) Determine el dominio de la función

(b) Las intercepciones con los ejes

(a)  el dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales.

(b) Intercepciones con los ejes:

Si 

y=6

La curva intercepta al eje y en el punto (0, 6)

Si 

Por división sintética:

Los factores de 6 son: 

Por lo tanto, f tiene un factor de la forma .

El factor , puede descomponerse en:

Finalmente:

Si 

Los valores de x son:

La curva corta al eje x en los puntos: 

Por lo tanto ahora ya podemos tener una idea mas clara de como es la grafica de dicha funcion.

Ceros De Polinomios

Si P es un polinomio y c es un numero tal que P(c), entonces decimos que c es un cero de P. A continuacion se presentan formas equivalentes de decir lo mismo:

1. c es un cero de P 2. x = c es una raiz de la ecuacion P(x)=0 3. x-c es un factor de P(x) 4. x=c es una interseccion en x de la grafica de P

Entre cualesquiera dos ceros sucesivos del polinomio, los valores del mismo seran todos positivos o negativos. Por lo tanto, entre dos ceros sucesivos la grafica se encontrara en su totalidad por encima o por debajo del eje x.

El comportamiento final esta determinado por el termino en el polinomio que tiene la potencia mas alta de x.

Recomendaciones Para Graficar Un Polinomio

1. Factorice el polinomio para determinar todos sus ceros reales, estos son las intersecciones con el eje x de la grafica.

2. Elabore una tabla de valores del polinomio evaluando x entre y, a la izquierda y a la derecha de los ceros determinados en el paso 1.

3. Grafique las intersecciones y los puntos determinados.

4. Determine el comportamiento final del polinomio.

5. Trace la curva suave que pase por los puntos graficados en el paso 3. y que exhiba el comportamiento final.

1Calcular el dominio de las funciones polinómicas:

1

2

2Calcular el dominio de las funciones racionales:

1

2

3

4

5

3Calcular el dominio de las funciones radicales:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

4Calcular el dominio de las funciones exponenciales:

1

2

5Calcular el dominio de las funciones logarítmicas:

1

2

6Calcular el dominio de las funciones trigonométricas:

1

2

7Estudia la simetría de las siguientes funciones:

1f(x) = x⁶ + x⁴ − x²

2f(x) = x⁵ + x³ − x

3f(x)= x |x|

4f(x) = |x| − 1
8Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones 
en los puntos que se indican:

1f(x) = 5x² - 3x + 1  en x = 1

2

9Hallar las funciones inversas de:

1

2

3

4

10Dadas las funciones:

Calcular:

1

2

3

4

5

6

7Probar que: